基于压 电陶瓷的柔性机器人主动抑振控制策略研究

摘要：柔性机器人因其轻质、高效、低能耗等优点已被广泛应用于航空航天，工业制造等诸多领域。然而，柔性机构易产生弯曲变形，引起系统振动而大大降低机器人的工作精度。为提高柔性机器人的工作性能，多种抑振策略得以研究与应用。提出了基于压电陶瓷(PZT)的柔性机器人振动主动抑制策略。其中，PZT传感器和PZT制动器分别被用来检测和抑制柔性臂的振动。本文构建了基于 PZT材料的单 自由度柔性机械臂的理论模型，并获得了传感电压与制动电压的传递函数。设计了一个可变控制方案的抑振器 以抑制系统在不 同频率下的振动 。在 COMSOL中进行仿真 ，获得了系统的抑振率。根据仿 真结果显示 ，柔性臂在前三阶振动下，臂的末端位移分别得到了57．04％，57．76％与 58．96％的抑制；系统的动能得到了 57．95％，71．19％与 87．81％的抑制。关键词：柔性机器人；压电片；主动振动抑制；传递函数

    工业机器人分为刚性机器人与柔性机器人。刚性机器人 由于其高质量 ，高硬度 ，在运动过程中常被假设无弹性变形 。然而，在高速运动和较高载荷质量比的场合，这种假设失效。柔性机器人相对于刚性机器人具有轻质、高效、低能耗的优点 ，被广泛应用于航空航天 ，工业制造等领域。然而，柔性机构的低阻尼和高柔性，易使系统的工作精度和稳定性易受到破坏。

    抑振方式可分为主动抑振和被动抑振。基于开环控制的被动抑振技术具有较高的稳定性并且较易搭建抑振平台。然而。被动控制系统的鲁棒性较低，对不同系统的适应力较弱，此外，被动抑振系统的应用由于增加了结构的质量使其运输和工作能力大大降低。FranciscoPalacios-Q 设计了一个被动阻尼系统用于柔性结构的振动抑制，该系统对于高频振动具有较明显的抑制效果，但并不适用于低频抑振 。主动抑振技术的发展弥补了被动控制的不足。主动抑振技术的工作原理是通过抑振器相对于柔性构建的反 向运动来减少或抑制系统的振动。主动抑振技术更适用于系统参数实时变化的场合。它可以通过控制算法的应用及调整以适应不同工况的需求。

    柔性机器人的主动抑振可以通过关节抑振来实现。然而，柔性关节控制的有效性对于关节转动角度与转动速度有一定的局限性。John 基于PID控制方法构建了柔性机器人关节抑振系统，在柔性关节转动的一定角度范围内有着显著的抑振效果，但有效的控制角度较小。目前以智能材料作为传感器和制动器的抑振技术已经得到 了广泛的研究与应用。这些传感器与制动器具有结构简单，体积小，轻质，压电转换效率高等优点。近年来的研究大多致力于使用一对或多对 PZT传感器与驱动器构建闭环控制系统实现抑振。基于压电材料的控制器大多以固定数量及位置的PZT片构建。然而，对于不同频率振动下的柔性机构，可变位置与结构的压电材料抑振器的抑振效果更佳。

    在本 文中 ，控制器 由 4对 PZT片构成 ，当不 同对 的 PZT片工作时 ，控制系统可提供三种方案来抑制 柔性 机 构前 三 阶谐 振频 率下 的振动 。通 过 在COMSOL中的数值仿真 ，获得抑振前后柔性臂的末端位移与 系统动能 的变化 以判断抑振率 。柔性 臂末 端的位移直接影响着机器人的工作精度 ，抑振过程中系统 的动能转换为内能并降低。

1 基于压 电材料 的柔性机器人建模

    以 单 自 由度 柔 性 机 器 人 为 例 ，根 据 Euler．Bernoulli理论 ，可将悬臂梁视为单 自由度 的柔性机构 。对该悬臂梁进行建模 ，研究基于压 电材料 的柔性机构主动抑振。如图 1所示 ，截面为矩形 的悬臂梁在 x=O处为 固定端 ，在 x=L处为 自由端 。PZT制动器 与 传感 器 相互 对应 分别 粘 贴在 梁 的上 下表面。定义 PZT制动器的位置为 ‰，PZT传感器的位置为 甄，悬臂梁的长度为 ，压 电片的长度为 Z。

图 1 基于 PZT传感器与制动器的悬臂梁模型

柔性悬臂梁的动力学方程表示为：

其 中 ，R(x)为广义位置 函数 ，P为质量密度 ，A为梁的横截面积 ， 为杨氏模 量 ，厶为梁 的转动惯量 ，h为梁的厚度 ，h为梁 的宽度 。以无穷级数的形式表示悬臂梁的横 向位移 ∞(，t)：

其 中， (t)为第 i阶广义位移的时间函数 ， ()为悬臂梁的第 i阶模态振型 ：

其 中 ，前 3个 常 数 值 为 ：A，=1．875l，A=4．6940，A产7．8547。制 动器 产生 的力 矩为 眠 (t)=CaVa(t)其 中 ， 为 制动 常数 ， (t)为 PzT制动器 的制 动电压 ：

其中 ， 为驱动器常数 ， 为第 n个悬臂梁的第 i阶谐振频率 ，阻尼被假设为 =0．O1， ，0．005。传感电压 ()与传感器表面产生的电荷量 Q(￡)之间 的关系可表示为 ：

其 中 ，e为压 电材料单位 面积 的电容 ，b(Xs2一 ，)为PZT传感器 的表面积。

根据式(7)与式(8)，通过 MATLAB的理论仿真获得了传递 函数的伯德图 ，柔性臂与压电片的参数如表 1所示 。

表 1 柔性臂与压 电材料的参数

图 2为悬臂梁末端位移的频域响应 ，**个波峰产生于一 阶谐振频 率处 ，其 幅值高 于二阶峰值l5dB，且高于三阶峰值 22dB。

图 2 悬臂梁末端位移的频域 响应

图 3显示 了相似 的结果 ，传感 电压一阶频率处的响应峰值 高于二阶响应 峰值 15dB，高于三阶峰值 68dB。由于频域响应 的峰值量级随频率阶数 的升高呈现降低趋势 ，本文对悬臂梁的前三阶模态进行研究以代替其无穷级数的模态。

2 基 于 COMSOL的数值仿真

在 COMSOL中进行数值仿真 ，获得悬臂梁的前三 阶谐振频率 ，并将其与理论分析的谐振频率结果相 比较 ，如表 2所示。

表2 2种方法下获得的柔性臂前三阶谐振频率对比 单位 ：Hz

    如表 2所示 ，理论分析与数值仿真所获结果接近 ，验证了理论模型构建 的准确性。

    PZT传感器与制动器的数量与粘贴于悬臂梁的位置对抑振效果有着重要的影响 ，如图 5所示 ，4个PZT片分别粘贴在距柔性臂 夹紧端 0mm，80mm，160mm与 230mm处 。压 电材料作为制动器通过逆压电效应产生反向的弯矩抑制臂的弯曲。以柔性臂末端 的位移以及系统动能的大小为振动强弱的判断依据 ，因此省略 PZT传感器。通过调整振动频率使柔性臂在不同模态下振动。根据如图 4所示的悬臂梁前三 阶模态 图，3种不 同方案 的压电片组合构成的可变抑振器如图 5所示 。0mm处的 PZT制动器用以抑制一阶模态的振动；160mm处的 PZT制动器用 以控制二阶模态的振动；80mm与 230mm处的PZT制动器用以抑制三阶模态的振动。

(a)一 阶振型 (b)二 阶振 型 (c)三阶振型

图4 基于 COMSOL仿真 的悬臂 梁前三阶振 型

图5 3种抑振方案的抑振器设计图

    基于 PZT制动器 的柔性臂系统在 COMSOL中进行仿真 ，并判断其抑振率 。一个 幅值为 lmm的正弦位移信号施加于柔性臂 的夹 紧端 。同时 ，幅值为 lOV的制动电压作用于 PZT制动器以模拟位移反馈 的闭环控制 。振动信号与制动信号 的频 率设定为 15Hz，100Hz与 250Hz。根据柔性臂末端位移与系统动能的变化来判断抑振器 的工作效率 。定义抑振效率为 ：

其 中，Ⅳ为峰值数 ，P为第 个压 电片的第 i个 峰值 ，P。为开环响应的第 i个峰值 。

3 仿真 结果

    如式(9)所示可得抑振器 的抑振率 。图 6(a)显示 了一阶振动下 的悬臂梁受 3种方案抑振 时的末端位移相 比于开环响应分别获得了 57．04％，49．95％和 23．57％的抑制 。图 6(b)显示 了在 3种方案下系统动能的抑制率分别为 57．95％，49．39％与 23．61。如 图 7所示 ，当柔性臂 以二阶频率振动时 ，方案 1、方 案 2、方案 3对臂 的末端位 移分别 产生 了44．39％ 、57．76％和 29．35％的 抑 制 。对 系 统 的动 能抑制分别为 64．14％、71．19％和 39．86％。如图 8所示 ，柔性臂在 阶频率下振动时 ，3个方案对臂末端位移产生 了 18．37％、51．08％和 58．96％的 抑 制 ，对 系 统 的 动 能 产 生 了 34．13％ 、78．32％和87．81％的抑制 。

图8 柔性臂在三 阶振动 下抑振效 果的比较

抑 振 器 的 抑 振 率 可 分 为 对 柔 性 臂 末 端 位移 的 抑 制 与 对 系 统 动 能 的 抑 制 。根 据 COM．SOL的 仿 真 结 果 ，3种 抑 振 方 案 分 别 对 在 前 三阶 频 率 振 动 下 的柔 性 臂 产 生 的 抑 振 率 如 表 3所 示 。

表 3 柔性臂在前 三阶振动 时的抑振 率

对 于一 阶振动 ，表 中显示 方案 1抑振 效果** ，梁末端位移得到 57．04％的抑制 ，系统动能得到57．95％的抑制 。方案 3抑振率最低 ，分别为 23．57％与 23．61％。柔性臂末端位移与系统动能反应 了相同的抑振趋势 。对于二阶振动 ，方案 2的抑振效果** ，梁末端位移得到 57．76％的抑制 ，系统动能得到 71．19的抑制。方案 3抑振率最低 ，为 29．35％与39．86％。对 于三阶振动 ，方案 3抑振效果** ，梁位移与动能分别减少 58．96％与 87．81％，方 案 1抑振率最低 ，为 18．37％与 34．13％。

4 总结

本文构建 了基 于 PZT材料 的柔性机械臂 振动主动抑制的理论模型。设计了由 3种可变抑振方案构成 的闭环控制抑振器 。基于 COMSOL的仿真结果可得如下结论 ：柔性臂一阶振动时 ，臂 的夹紧端处(=0mm)为**抑振位置 ；柔性 臂二阶振动 时 ，臂的长度中间位置 (x=160mm)抑振效果** ：柔性臂三阶振动时 ，臂上两处位置 (x=80mm，230mm)共 同制动效果**。后期的工作将致力于搭建抑振系统的实验平台以验证可变抑振器工作的有效性。